单项式
定义
单项式是由常数和字母的积组成的代数表达式，其中字母的指数为非负整数。
Credits
翻译: 晓白 Skyler | 一校: Skyler 晓白 | 二校: Siv_Sylvien
示例：单项式
如果一个单项式看起来十分紧凑，其数字部分表现为一个系数，每个字母携带其最终的指数出现一次，则该单项式为标准形式。数字部分称为系数，字母部分称为“字母因式”。我们总是可以将非标准形式转换为标准形式，将系数和字母部分的元素分组呈现。
单项式的次数
单项式中涉及两个需要区分的次数：单项式的次数和特定变量的次数。（这看起来没什么用，但在数学和物理中，即使存在多个变量，有时我们也会挑选一个特定的变量，将其定义为某个字母，只考虑它的属性而不考虑其它字母）。
总次数为: 3+7+2= 12
x的次数为3，y的次数为7，z的次数为2
单项式求和
若两个单项式互为同类项，则二者可以相加。
它们的字母因式部分相同
它们的字母因式部分不相同
如果两个单项式所含的字母相同，且相同字母的指数也分别相同，则它们互为同类项。
两个同类项求和，系数相加，字母因式部分保持不变。
同类项相加
我们把2和11相加
我们把2和2相加
一个很长的式子中通常会有不同的单项式，我们可以对其进行分组求和。
2x^{2}+3y^{2}z+5x^{2}+3x^{2}+2y^{2}z = (2x^{2}+5x^{2}+3x^{2})+ (3y^{2}z+2y^{2}z) = 10x^{2}+5y^{2}z
单项式乘积
两个及以上的单项式相乘并不需要满足同类项要求。单项式相乘会改变运算结果的系数和字母因式，结果由参与运算的所有单项式系数的乘积和字母因式的乘积构成。字母因式的乘积遵循指数运算法则，即相同的字母的指数分别相加。如果某个字母只出现一次，其指数保持不变。
以 3xy^{2}z^{3}和2x^{4}yz^{3}为例，二者相乘
这两个单项式的系数分别为2和3，将二者相乘
将字母分组，再分别将各字母的指数相加
单项式乘积的例子还有：
2xy·5xy = 10x^{2}y^{2} | 2x^{2}y^{3}z·5xy=10x^{3}y^{4}z | -\frac{1}{4}xy·8z = -2xyz
单项式乘方
单项式的乘方由系数的乘方和字母因式的乘方组成。
与单项式的乘法运算相似，对于字母因式部分来说，我们仍然需要遵循指数运算法则。底数不变 指数相乘。
如果我们用心的话，可以注意到这样的规则也适用于系数部分。
(4x)^{2}=(2^{2}x)^{2} = 2^{2·2}x^{1·2}
系数部分为1，于是省略。实际上，这些都遵循指数运算法则。
单项式除法
与数字运算类似，被另一个单项式所除的单项式为被除式，除号后的单项式为除式。
一个被除式能够被一个除式整除，当且仅当：
- 被除式和除式有一些相同的字母
- 不同的字母必须位于被除式中
- 对于相同的字母，被除式中的指数必须大于或等于除式中的指数
这是由同底数幂的除法法则和单项式的定义导致的。同底数幂相除，底数不变，指数相减。按照单项式的定义，字母部分的指数必须为自然数，即单项式除法运算中指数的差值必须为非负整数。因此，对于相同的字母，被除式中的指数必须大于或等于除式中的指数；不同的字母必须位于被除式中。
与乘法运算相同，我们仍然需要将单项式划分为系数和字母因式两个部分。
以 3xy^{2}z^{3} ÷ 2yz^{3} 为例，进行除法运算
这两个单项式的系数分别为2和3，我们将二者相除，即可得商（或有理数）为 \frac{3}{2}
将字母分组，再分别将各字母对应的指数相减。被除式中一般有更多种类的字母，以及更高次或相同次的指数（如果被除式与除式相比缺少字母，则意味着该字母对应的指数为0）。
让我们来试试，以 6xy^{2}÷2xy^{3} 为例
其结果为 \frac{6}{2}x^{(1-1)}y^{(2-3)}=3x^{0}y^{-1}=3y^{-1}=\frac{3}{y}
如果我们想计算 6y^{2}÷2xy^{3}, i也就是要计算 6x^{0}y^{2}÷2xy^{3}
结果为 \frac{6}{2}x^{(0-1)}y^{(2-3)}=3x^{-1}y^{-1}=\frac{3}{xy}
不同于单项式的乘法和乘方运算，单项式的加法和除法运算不是单项式集合的内部运算。
所谓的“内部”运算指的是，进行单项式间运算后，其结果在任何情况下都是单项式。
当我们进行加法运算和除法运算时，得到的结果并不总是单项式。
这就解释了除法运算中关于被除式指数的规则，以及加法运算中关于同类项的规则。
最小公倍式
LCM (Lowest Common Multiple)，即单项式的最小公倍式
单项式的最小公倍式类似于常数的最小公倍数。
如果我们有两个及以上的单项式，那么它们的最小公倍式具有以下特征：系数部分为所有单项式系数的最小公倍数，字母因式部分为所有单项式字母因式的最小公倍式。
在计算过程中具体表现为，我们取每个数字（或字母）的指数最高的一项，各取一次。
- 如果单项式系数均为整数，则取各系数绝对值的最小公倍数
- 如果存在至少一个系数不为整 (例如, \frac{2}{3}), 那么各系数的最小公倍数则自动取1
- 例2xy, 3xy, 5xy. 各系数的最小公倍数为 2·3·5= 30
- 例：2xy, 20xy. 系数分别为 2, 2^{2}·5 取每个数字指数最高项相乘可得最小公倍数为 2^{2}·5 = 20
- 例：2xy, 3xy,\frac{2}{3}xy . 各系数的最小公倍数为1，因为有一个系数不是整数
- 字母因式部分的最小公倍式由每个单独的字母取一次构成，并且取的是该字母指数最高的一项。
- 遵循指数运算法则。
- 例：x^{2}y, xy^{5}z. 最小公倍式为 x^{2}y^{5}z.
我们将x^{2}y 中的z视为 z^{0}
例：2x^{2}y, 4xy^{5}z, 12z^{5} 的最小公倍式为 12x^{2}y^{5}z^{5}
例：2y, \frac{1}{2}xz, 12z^{5} xyz^{5} (1作为系数通常省略)。
让我来解释一下，最小公倍数通常涉及两个数字，是二者所有公倍数中最小的那个。这个概念起初只适用于自然数，后来发展到整数范围。它并不适用于有理数和无理数的范畴。
因为这个原因，在中学数学中，对于单项式系数的最小公倍数和最大公因数，我们有使用1的惯例。
我们不能把这些跟更高等级的数学混淆，那里就涉及一些实数公理的内容，因式分解和分式求和都是域公理的应用结果。
的确，我们可以说最小公倍数和最大公因数在实数领域意义不大。
最大公因式
GCF (Greatest Common Factor), 即单项式的最大公因式
最大公因式的计算过程与最小公倍式很相似。但不同于最小公倍式，我们求最大公因式的时候，需要选择指数最小的元素。
如果我们有两个及以上的单项式，那么它们的最大公因式具有以下特征：系数部分为所有单项式系数的最大公因数，字母因式部分为所有单项式字母因式的最大公倍式。
在计算过程中具体表现为，我们取每个数字（或字母）的指数最低的一项，各取一次。
- 如果单项式系数均为整数，则取各系数绝对值的最大公因数。
- 如果存在至少一个系数不为整（例如 \frac{2}{3}），那么各系数的最大公因数则自动取1。
- 例： 2xy, 3xy, 5xy. 各系数的最大公因数为1
- 例： 2xy, 20xy. 各系数的最大公因数为2
- 例： 2xy, 3xy, \frac{2}{3}xy .各系数的最大公因数为1，因为有一个系数不是整数
- 字母因式部分的最大公因式由每个单独的字母取一次构成，并且取的是该字母指数最低的项。我们需要考虑各个字母在每一个单项式中的次数。
- 遵循指数运算法则。
- 例： x^{2}y, xy^{5}z. 最大公因式为 xy
- 例： x^{2}yz^{3}, xy^{5}z 最大公因式为 xyz
- 例： x,y,z. 每个字母的最低次为0，所以最大公因式为1。这也就是我们所说的需要考虑各个字母在每一个单项式中的次数。
例如，2x^{2}y, 4xy^{5}z, 12z^{5} = 2 的最大公因式为2（对于系数部分，2是最低次的公因数；对于字母因式部分，指数最低项的指数为0，字母部分的最大公因式为1）。
例如，2xy, \frac{1}{2}xz, 12xz^{5} = x 的最大公因式为 x（1作为系数通常省略）
字母因式部分没有相同的元素时，我们就视其最大公因式为1。为什么呢?
对于三个不含相同元素的单项式： x, y, z.
我们可以将其写作 x=x^{1}y^{0}z^{0} | y=x^{0}y^{1}z^{0} | z=x^{0}y^{0}z^{1}
取各字母指数最低的项分别相乘，得x^{0}y^{0}z^{0} = 1·1·1=1 所以字母因式部分没有相同的元素时，最大公因式自动取1。